Quésia Santana

Orientações metodológicas para o ensino de matemática

das séries iniciais do ensino fundamental

Prof Cristiano Alberto Muniz

Esse documento é realizado a partir de dois anos de discussão conjunta entre a equipe pedagógica e o consultor de educação matemática. É de certa forma uma síntese das orientações realizadas nesse período, sejam nas reuniões, oficinas ou em observação em sala de aula.

Deve assim o documento ser consultado pelos professores e pela coordenação diariamente, pois nele constam orientações e sugestões muitas vezes inexistentes em manuais ou quando existem, elas estão totalmente dispersas e de difícil consulta. Esse documento acaba por constituir-se, conjuntamente com a proposta pedagógica da escola, num pilar do projeto pedagógico de educação matemática para séries iniciais do SCM.

A consulta ao documento deve ser dinâmica, tendo os profissionais que o manipularem a responsabilidade de realizar críticas e sugestões para acréscimos. Idealmente, seu conteúdo deve retratar a prática dos professores nos planejamentos e nas práticas pedagógicas de sala de aula. As orientações devem permitir também uma reflexão sobre a prática em outras áreas curriculares.

Seria interessante que, depois de um ano de uso deste documento e de seu aprimoramento, viesse o mesmo a se constituir em diretrizes oficiais da escola, para ser difundido amplamente e sobretudo entregue aos novos professores que chegam à escola sem conhecer a proposta de educação matemática aqui construída e trabalhada.

Conceitos :

Os conceitos estão sempre presentes no trabalho pedagógico e devem ser a coluna vertebral do trabalho do professor, uma vez que as ações realizadas pelas crianças são sustentadas pelos conceitos que as mesmas possuem. Colocar-se como mediador no processo de desenvolvimento da criança é agir sobre o processo de construção dos conceitos de nossas crianças. Assim, os conceitos deverão ser trabalhados sempre, não se constituindo em pré-requisitos para a atividade matemática, mas sim constantemente explorado pelo professor, no dia-a-dia, em todas as situações e espaços oferecidos para os alunos.

Lembremos que o uso das terminologias matemáticas pelos alunos não implica nem na presença do conceito, tampouco na sua ausência. A relação entre linguagem e conceitos por vezes é um fenômeno complexo, podendo levar o professor a julgamentos errôneos sobre o desenvolvimento de certo conceito, quando o professor limita a avalição da existência do conceito à linguagem utilizada pela criança. São nas ações da criança, e não apenas no seu linguajar que podemos avaliar o grau de desenvolvimento conceitual e nos colocarmos como mediadores desta construção. A criança que não se utiliza de determinada terminologia pode muito bem possuir o conceito em termos de estrutura mental. Da mesma forma, uma criança que se utiliza de certo termo, pode não possuir a estrutura mental correlata, pois o significado atribuído ao termo é diferente daquele socialmente constituído. Se o conceito é uma construção da criança (diferente da definição que é um significado socialmente aceito) não pode o professor considerar um conceito como adquirido porque o mesmo já foi tratado em determinadas atividades. Cabe ao educador, dentro e fora de sala de aula, aproveitar todas as situações para retomar e explorar certos conceitos matemáticos presentes nas situações mais diversas.

 O professor, enquanto mediador privilegiado dentro do grupo, deve utilizar-se da linguagem correta junto a cada conceito, associando linguagem à ação, e vice-versa, possibilitando assim uma assimilação gradual e natural pelas crianças dessas terminologias. Cabe ao professor, no dia-a-dia avaliar a adequação dos termos e se a criança esta mobilizando certos conceitos nas situações prorpostas pela escola.

As principais categorias conceituais de matemática, masi amplas que as numéricas, a serem dinamizadas nas séries iniciais, em continuidade aos trabalhos realizado na Educação Infantil, são :

q  Classificação : através da qual a criança é capaz de agir sobre objetos, organizando-os e separando-os segundo critérios estabelecidos. A escolha dos critérios é uma tarefa da criança, que espontaneamente realizará sua opção entre as diversas possibilidades oferecidas pelo material (o material é rico, quanto maior for a diversidade de possibilidades de classificação do mesmo). A escolha espontânea da criança é um excelente indicativo para o educador sobre os aspectos físicos considerados mais relevantes para a criança. É natural que a criança menor não mantenha constante o mesmo critério ao longo da atividade, flutuando, durante a classificação, entre essas ou mais possibilidades. Da mesma forma, é de se esperar, na criança com menos de 4 anos, a incapacidade de classificar alguns objetos pertencentes à coleção, abandonando-o ou negando sua participação na coleção. Se considerarmos a realização da atividade de classificação num grupo de crianças, é de se esperar que haja variações de uma criança para outra nas formas de classificar os objetos. Essa variação é fundamental no processo de decentração cognitiva, uma vez que, com a participação do educador, a criança descubra com os colegas novas formas de organização do material, a partir de critérios que, até então, ela não tinha levado em consideração. Entretanto, é necessário ressaltar que, diante da importância da classificação na construção do pensamento operatório pela criança, tais atividades não devem ser realizadas isoladamente, de maneira diretiva, mas devem permear o cotidiano das atividades infantis, estando o educador infantil atento para aproveitar todas as oportunidades para realização da classificação, instigando o grupo de crianças a refletirem sobre as diferentes formas de classificação e suas diferentes respostas possíveis, e mais, desafiando as crianças a sempre encontrarem novas formas de classificação através da eleição de novos critérios até então não pensados pelo grupo. Assim sendo, as atividades constantes de classificação terão um importante papel sobre a construção e desenvolvimento do pensamento matemático das crianças desde muito cedo. Nessa construção, o papel do educador é fundamental, não apenas oferecendo as situações e materiais, mas realizando uma mediação instigante e interessante ao grupo com novas formas de pensar e confrontando no grupo as diferentes formas possíveis de classificação de uma mesma situação.

q  Comparação : da mesma forma que a classificação, a comparação depende do critério utilizado. Se a classificação ocorre num grupo de objetos, a comparação ocorre privilegiadamente entre dois objetos ou seres. Na comparação, estabelecer um julgamento, que envolve principalmente a noção de « mais » ou « menos » (portanto, tocando em conceitos matemáticos), requer o estabelecimento de um critério de comparação que nem sempre é numérico. Mais amplo que um conceito matemático, podemos comparar pela beleza (mais bonito), pelo gosto (mais gostoso), pela tonalidade (mais claro). Assim, o educador deve ter atenção para a exploração de atividades de comparação de forma mais ampla, não limitando-se às noções matemáticas nelas presentes. Na maior parte das vezes, é mais fácil comparar pela quantidade, via contagem, do que julgar uma situação não numérica, por exemplo, qual flor é mais bonita, sobretudo num grupo de crianças. Mesmo numa situação de comparação numérica, podemos encontrar uma multiplicidade de critérios para os quais o professor deve estar atento e buscar explorá-los. Numa situação de comparação entre dois conjuntos de objetos, onde a comparação requer a quantificação e/ou contagem, deve ser centro da atenção do professor a conservação das quantidades, ou seja, se a resposta da pela criança depende da forma como os objetos estão distribuídos. Lembremos que a conservação de quantidades discretas (de objetos, por exemplo) é uma construção da criança e não é passível de ser um objeto de ensino, cabendo ao professor oferecer a oportunidade da criança de refletir sobre a situação. No caso de uma comparação entre dois objetos, onde a criança deve decidir qual o maior ou o menor, essa atividade tem sua complexidade centrada nas múltiplas possibilidades de considerar a grandeza de cada objeto, como altura, largura, comprimento, massa e volume. Assim, há uma multiplicidade de respostas possíveis numa mesma situação, haja visto que há formas diferentes de « olhar » os objetos, e essa multiplicade deve ser o centro de atenção do professor. As comparações não devem constituir uma atividade com um fim em si, mas devem estar integradas em situações mais amplas. A comparação de quantidades discretas (que envolvem contagens) com de quantidades contínuas (que envolvem medidas) deve ser atividade presente no cotidiano da escola. 

q  Ordenação : que implica na ação de uma coleção de objetos, exige desde início a definição de um critério. O critério para a ordenação de uma coleção deve ser sempre um equivalente à comparação. Ordenação é uma atividade cognitiva que requer múltiplas comparações. É necessário estarmos atentos para o fato de que mesmo fixando um único critério para a ordenação, podemos obter uma multiplicidade de respostas acerca das possibilidades de organizar uma dada coleção. Tendo fixado um critério, por exemplo, a altura (organizar a coleção do mais baixo ao mais alto), a possibilidade de variação de resposta é garantida em função do conceito de altura em cada objeto, objeto a objeto, criança a criança. Assim, ordenar uma coleção é mais uma possibilidade de confronto entre as diferentes respostas encontradas para uma mesma tarefa dentro de uma mesma coleção. O papel do professor mediador é vital nessa confrontação sobretudo para ressaltar junto às crianças a exitência de mais de uma resposta certa para um problema matemático. É normal encontrar uma não conservação dos critérios ao longo da ação da criança.

q  Seriação : muito confundido por professores com a ordenação. A seriação também é realizada a partir de uma coleção dada, de objetos, seres ou figuras. Ela também requer o estabelecimento de uma critério para organização da coleção, mas esse critério não é mais regido por uma propriedade física de um objeto, e sim por meio de relações lógicas entre os elementos da coleção : posição, tamanho, ... Na seriação, a coleção pode ser composta por um único objeto, que sofre variações de posição, por exemplo. Seriar implica, mais do que reproduzir modelos, em construir relações lógicas, ditas também leis de formação. A atividade de seriação requer da criança a descoberta da lei de formação e dar continuidade à coleção mantendo a lei presente no grupo inicial. A atividade requer, na maior parte das vezes, lidar com relações mais amplas que as numéricas, sobretudo envolvendo posições, rotações, acréscimos, etc. Uma atividade interessante é a professora solicitar a uma criança criar uma série a partir de um padrão de escolha da própria criança, e a outra criança que identifique o « segredo » e dando continuidade à série.

q  Topológicos : envolve conceitos como « dentro », « fora »,  « fronteira ». Se aparentemente são conceitos simples, a escola normalmente peca quando reduz esses conceitos ao espaço plano e com atividades realizadas no papel. Estar dentro ou fora, pode e deve estar mergulhada em situações espaciais e tridimensionais, estar dentro ou fora da casa, da caixa, do recipiente, etc requer noções por vezes mais complexas do que quando a situação esta limitada no plano do papel. Se propomos a exploração espacial que requeira tais conceitos, essas atividades devem ser seguidas de atividades de representação gráfica, onde o desenho tenha um significado mais amplo, o qual será base da resposta da criança.

q  Orientação : trata-se de conceitos normalmente negligenciados pela escola. Estar perto ou longe, acima, abaixo, em baixo, em cima, à direita, à esquerda, ao lado, atrás, na frente, etc. podem ser explorados a partir de situações vivenciadas agindo sobre o espaço e sua representação. Relatar o caminho feito para chegar à escola, explorar espaços da escola, brincar de caça ao tesouro, envolvendo mapas, discutir e reorganizar os espaços das atividaes escolares, etc. são exemplos concretos de atividades que contribuem fortemente com a construção conceitual da criança acerca de sua orientação espacial. A participação do professor nestas atividades é fundamental, sobretudo, estabelecendo relações lógicas entre a terminologia presente nas atividades e seus significados matemáticos.

q  Temporalidade : ligada a noções de localização no tempo. Considerando que os conceitos temporais são construções da mente humana, a criança em pleno desenvolvimento encontra, normalmente, dificuldades na assimilação deste conceitos. Dizer « amanhã eu fui no parque », « antes de amanhã  vou na casa da vovó » retrata a dificuldade de assimilação desses conceitos. As atividades ligadas à temporalidade são bem mais amplas que a utilização do relógio e do calendário. Elas começam com a exploração do tempo pelas próprias crianças, a administração do tempo para a realização de tarefas, comparação de intervalos de tempo, registros naturais de intervalos de tempo (sombra, queima de vela, noite/dia, programação da TV, rotinas familiares) que serão mais exploradas nesse documento no momento de discutirmos sobre as medidas. A construção das terminologias referentes ao tempo são assimiladas gradativamente com o convívio com o professor em situações socialmente partilhadas. A realização da « rodinha » para a realização da agenda diária das atividades, registrar de múltiplas formas o tempo gasto com as atividades, reconstrução de estórinhas, contar o que aconteceu ou o que vai aconter, construir o calendário diariamente, explorar diferentes tipos de calendários, aprender a utilizar a agenda, fazer a reta do tempo, são exemplos bem concretos que envolvem conceitos temporais. De nada adianta corrigir a linguagem das crianças se não oferecemos a elas situações diárias de construção de conceitos, por vezes, complexos mesmo para crianças maiores. Ter relógio digital e analógico (com ponteiro dos segundos) em sala de aula é uma atitude que favorece tais construções, mais não são suficientes.

q  Equilíbrio de massa : conceito que requer segurar, carregar, sentir  massa. Comparar pesos extrapola a visualização do fenômeno em balança, mesmo que seja na balança de dois pratos. A criança tem de ser a própria balança, sentindo a força peso com suas mãos/braços, a partir da qual, o conceito de mais pesado, menos pesado, igual, tomará sentido. Somente assim a criança irá desconectar a idéia do tamanho com o do peso. Se para a criança o que é maior é mais pesado, não será a partir da contestação do professor que a criança resignificará sua noção, mas agindo concretamente sobre massas é que tal conceito será desenvolvido pela própria criança.

Construção do Número :

-       Número como produção cultural

q  Buscar resgatar o conhecimento social que as crianças trazem da vivência com os números na vida cotidiana, tais como nos jogos e brincadeiras, nos meios de comunicação (TV, telefone, endereçamentos, placas), no comércio (preços, volumes, pesos, capacidades), em placas e sinalizações (no trânsito, endereços, propagandas), em códigos (telefones, identidades, endereços, placas de automóveis). Se tais vivências estão fortemente presentes fora do espaço escolar, devemos nos questionar sobre a importância de trazer tais situações para dentro da escola e fazer com que o professor utilize dessas realidades para mediar o significado dos símbolos numéricos , sejam eles representantes de quantidades ou quantias.

-       Número como construção da criança a partir de relações entre quantidades e símbolos. A participação da escola na construção do número pela criança é proporcional à oferta de situações oferecidas à criança para que ela estabeleça relações entre quantidades e símbolos numéricos. Se considerarmos que o « número » é uma construção mental, devemos nos preocupar com a oferta de situações que permitam à criança a estabeler relações entre símbolos e quantidades, assim como de quantidades com símbolos e, em especial, favorecer a comparação de quantidades numéricas.

q  Diferença entre o número enquanto código e o número enquanto representação de uma quantidade. Fazer com que a criança saiba diferenciar quando um número está representando uma quantidade/quantia, como um preço, por exemplo, ou quando trata-se exclusivamente de um código numérico, como o número de telefone, por exemplo.

q  Trabalhando com quantidades e com quantias/valores. Inicialmente deve haver por parte da escola uma preocupação com situações envolvendo QUANTIDADES, onde a situação numérica é pautada pela correspondência biunívoca um a um. A contagem de objetos, de eventos, de seres, onde o resultado da quantificação corresponda exatamente à coleção explorada. Nesse momento, materiais de ensino como palitos, dedos, canudos e material dourado devem ser valorizados. Somente num segundo momento deve-se explorar situações com valores, onde as relações de quantidade são mais complexas, onde o « um » não vale mais « um », mas respresenta um grupo. Assim ocorre quando da contagem por agrupamento, nas medidas, nas moedas e cédulas, etc. Nesse momento, podemos e devemos explorar materiais tais como dinheiro chinês (onde o valor depende da cor, como no jogo de pega varetas), ábacos, sistema monetário, quadro valor de lugar. As crianças menores têm dificuldade de trabalharem com a noção de valor, onde alguma coisa pode estar « representando » uma quantidade. Somente depois de trabalharem com as quantidades é que devemos avançar no trabalho com valores. Mas cada criança é uma criança e, numa sala de aula, teremos sempre crianças que estão no nível das quantidades como aquelas que estão no nível das quantias. Nosso espaço pedagógico deverá oferecer ambas as situações, tendo o professor o cuidado de observar a capacidade de cada criança. A oferta e a exploração de situações monetárias ajundam nesse sentido. 

-       O número natural, com sua seqüência numérica, recitação, escrita e   algarismos

q  Uma das primeiras aprendizagens infantis sobre o número diz respeito à recitação da seqüência numérica, quando ela aprende, mesmo antes dos 2 anos de idade, a recitar a contagem oral. Essa habilidade participará da futura capacidade da criança em quantificar objetos ou eventos. Mesmo não sendo uma atividade operatória (pois segundo Piaget não garante a existência da conservação e, portanto, o pensamento reversível na recitação oral) essa capacidade contribuirá de forma significativa na quantificação numérica.

-       O número decimal como produto do sistema monetário e de medidas

q  Buscar, a partir das situações com valores monetários, explorar o uso social de números com vírgulas e seus significados.

q  Levar o aluno a compreender que os decimais surgem da necessidade de uma expansão do naturais a partir da divisão da unidade ainda no sistema decimal. Construir com os alunos a idéia do decimal como uma forma de notação de um número que pode ser composto de uma parte inteira e de uma parte não inteira, mas ainda dentro do sistema decimal.

q  Resgatar com os alunos a dimensão cultural das formas de registro do decimal, havendo outras formas possíveis de representação utilizadas em outras culturas.

q  Utilizar-se de instrumentos de medidas tais como a régua, a balança e o termômetro para dar sentido sócio-científico ao uso dos decimais. Em situações com tais instrumentos, podemos resolver situações aditivas envolvendo números decimais.

q  O registro dos decimais e operações aditivas devem ter por base material representações tais como no material dourado, no dinheiro, no ábaco e no quadro de valor de lugar expandido.

q  A multiplicação deve ser centrada mais em situações com dinheiro e medidas, resgatando o conceito de adição de parcelas iguais, onde as parcelas iguais são valores equivalentes, sobretudo, preços, distâncias, pesos, capacidades, etc. Não há necesidade de se deter em multiplicações cujo primeiro fator é decimal.

q  A divisão deve ser trabalhada, sobretudo na 4ª série, quando valores decimais são repartidos igualmente, ou quando saber quantas vezes um decimal cabe em outro número, seja este último decimal ou não.

q  Ao final é importante fazer a ponte com a representação do decimal com a porcentagem (quando for centesimal) e com as frações decimais.

q  Um trabalho curricular de decimais com as frações é interessante, ma não deve a escola perder de vista a maior importância do conhecimento sociocultural dos decimais sobre as frações, sobretudo, nas situações operatórias.

-       As frações e seus diversos conceitos

q  As frações devem surgir a partir de situações de necessidade de divisão do inteiro. Deve o professor estar atento para a natureza das quantidades numéricas envolvidas nas situações, pois nem todas as coisas podem ou devem ter a unidade partida. Pensemos em 5 crianças para fazer dois grupos. Qual o significado de « meia criança » ; Já 5 chocolates para duas crianças, é fácil aceitar a idéia de meio chocolate.

q  A aprendizagem das frações implica no desenvolvimento de uma pensamento multiplicativo e decentrado. Isso fica evidenciado quando percebemos que a criança está habituada à idéia da ordem crescente 1,2,3,4,5,... pode se sentir « obstaculizada » em aceitar a idéia da ordem decrescente ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6, ..., pois na cabeça da criança, quanto maior o « número » maior é quantidade. São dificuldades que só uma ação concreta refletida pode dar conta. Assim, não podemos aceitar a idéia de um trabalho pedagógico com as frações sem a vivência concreta em situações-problema de significado para a criança : fazer receitas, repartir coisas, realizar medidas, etc.

q  As terminologias e registros devem aparecer gradativamente e após as construções conceituais realizadas pelas crianças, nunca ao contrário. Assim é inaceitável a exploração de terminologias tais como numerador, denominador, imprópria, própria, ..., desvinculada e antecipando a ação concreta em situações reais.

q  Trabalhar inicialmente apenas com a idéia de /2, /3, /4, ... onde a « / « significa « partes iguais ». A partir daí, podemos contar frações, comparar frações, com ênfase na ação concreta e nas  verbalizações.

q  No trabalho de frações é importante variar bastante o material e a unidade : trabalhar com massinha de modelar, tiras de papel retangular e circular, com recipientes, coleções de bolinhas, etc . É importante que a criança perceba que a fração depende da unidade que se toma, assim como é importante variar ao máximo o tipo de material utilizado.

q  Não devemos, sobretudo na 4ª série, deixar para trabalhar com a frações no último bimestre, pois esse trabalho requer tempo em termos de exploração e de aprendizagem.

q  Cuidar para as diferentes noções do número fracionário : relação parte todo (dois pedaços de pizza divida em 6 partes iguais), razão (dois de farinha para três de açucar nessa receita de bolo), divisão (2 metros de tecido dividos para fazer 4 camisas).

q  Iniciando por um tipo de unidade, discreta ou contínua, evoluir para outra. Há duas propostas pedagógicas distintas para trabalharmos as frações : trabalhar com a fração de um inteiro (bolo, chocolate, pizza, etc) ou de uma quantidade (balas, bolinhas de gude, crianças,etc). Não há uma « melhor opção » para iniciarmos o trabalho com as frações, o que depende mais de uma posição pessoal do professor e o aproveitamento de situações presentes no cotidiano da escola. Entretanto, é fundamental que o professor cuide para não trabalhar apenas um tipo de unidade, obrigando-se a, iniciando por um tipo de unidade, evoluir para a outra. Essa diretriz vale para a 3ª e 4ª série.

q  As comparações entre frações devem ter por base a manipulação concreta de materiais. Cada aluno tem de ter o seu para manipulação e realização de descobertas. A cada manipulação deverá haver seu registro correlato.

q  A noção de equivalência é um conceito central no trabalho com a frações, devendo ser merecedora de atenção especial pela escola. É na comparação, no estabelecimento de regularidades pelos alunos que devem surgir as equivalências entre as frações. A exploração da equivalência deve extrapolar a idéia de classe de quivalência, buscando permitir que as próprias crianças descubram, construam e validem regras sobre as comparações e equivalências.

q  Terminologias das frações quando comparadas com o inteiro são de importância menor no processo. Saber quando uma fração é maior ou menor que o inteiro e, se maior, quantas vezes maior. Isso é muito mais importante que a memorização das terminologias : própria, imprópria, aparente, mista.

q  Não atrelar as operações ao MMC ou MDC. Ao comparar, somar ou subtrair fração, o recurso do menor múltiplo comum deve não ser explorado, deixando-o ao professor de 5ª série (a não ser que o professor perceba que isso seja adequado para certa turma, mas não se transformando em regra generalizada). Quando as frações em questão são de bases diferentes (terços e quartos, por exemplo), o mais importante é que as crianças possuam um arsenal de recursos baseados nas equivalências para realizarem as operações, ao invés de decorarem a técnica do MMC sem significado. Como o tempo geralmente é escasso, convém trabalhar mais os recursos descobertos pelas próprias crianças, deixando para mais tarde técnicas mais formais.

q  É importante nas série iniciais dar ênfase às situações aditivas, ou seja, as que envolvem adição e subtração. Envolver as crianças em situações aditivas significativas, manipulando materiais concretos, registrando, confrontando diferentes processos é importante e demanda um tempo que não permite ao professor se alongar com as situações aditivas que requerem estruturas mentais nem sempre disponíveis antes dos 10 anos de idade. É importante que a multiplicação e divisão não sejam dadas de forma inadequada, sem significado, apenas transmitindo técnicas operatórias. É um conteúdo mais apropriado para as séries finais do ensino fundamental. Porém, o professor pode oferecer situações multiplicativas onde a criança resolverá via adição de parcelas iguais.

q  Aproveitar para trabalhar a noção de gráfico de Setor (4ª série), pois quando a unidade é um círculo, na verdade temos uma nova forma de representação gráfica, inclusive envolvendo a idéia de porcentagem. Seria conveniente que, nesse momento, fosse explorado o conteúdo de tratamento de informações vendo o inteiro como uma representação gráfica.

-       A idéia de número relativo

q  Mesmo sendo conceito próprio da 6ª série do ensino fundamental, a idéia de número relativo, como débitos e créditos, pode aparecer ao longo do proceso nas séries iniciais. O professor não deve perder a oportunidade para explorar tais idéias tão presentes na realidade de nossas crianças, pois isso expande significativamente as possibilidades numéricas e operatórias do aluno, significando um grande ganho em termos matemático. Entretanto, isso não deve ser visto como obrigatoriedade, mas o professor deve ficar atento para tal possibilidade.

Estrutura do Sistema de Numeração Decimal

-       O agrupamento como um ato natural da mente humana na quantificação de coleções

q  Resgatar junto às crianças o ato espontâneo de agrupamento que ocorre quando se busca quantificar uma coleção que possui um número não perceptível ou cujo arranjo não se constitua em constelação (quando a disposição dos objetos no espaço revela instantaneamente a quantidade, como ocorre com o 6 no dado ou no dominó)

q  Realizar jogos que buscam agrupar palitos, canudos, fichas, onde o agrupamento para quantificações é regra central da atividade lúdica.

-       O agrupamento decimal como fruto da ação sobre o corpo

q  Valorizar a iniciativa a criança em contar com e nos dedos.

q  Buscar socializar estratégias espontâneas de cotagens e cálculos com a utilização dos dedos

q  Mostrar que o nosso sistema de numeração é decimal pois na história da civilização o homem utilizou os dedos como « coleção testemunha », e portanto, nosso sistema é decimal é porque o homem tem dez dedos nas mãos.

-       A questão do valor posicional

q  A partir do agrupamento decimal, realizar atividades que levem as crianças a descobrirem o valor posicional como estratégia de agrupamento.

q  Observar que o valor deve depender, não da cor, tamanho ou código diferenciado, mas sim exclusivamente da posição. Pela posição que o algarismo assume, sabemos qual o seu valor dentro do sistema decimal.

-       O registro de quantidades no SND

q  Lembremos que existem 10 algarismos porque nosso sistema é decimal.

q  Enquanto a quantificação não for realizada com agrupamento decimal (agrupando de dez em dez) não se deve utilizar os algarismos no registro das quantidades .

q  É natural que antes de saber escrever os algarismos e números haja o reconhecimento dos mesmos. O espelhamento é natural até os 7/8 anos e idade, fazendo parte da construção da escrita dos algarismos pela criança.

-       Leitura de quantidades maiores que dez, cem e mil

q  Mesmo antes de serem trabalhados pela escola, é normal que a criança já tenha vivências com quantidades maiores.

q  A capacidade da criança ler grandes valores depende, dentre outras coisas, de sua habilidade na contagem em grupos de dezenas (dez, vinte, trinta, quarenta,...) e em grupos de centenas (cem, duzentos, trezentos, quatrocentos, ...) Antes disso, ela pode (e deve) ler 42 como « quatro de dez e dois » o que revela a capacidade da criança em identificar a quantidade numérica na estrutura decimal.

-       Terminologias Unidade, DEZena, CENtena, MILhar, ...

q  O uso dessas terminologias não é o mais importante na estruturação do número no sistema decimal. A terminologia deve aparecer gradativamente quando já há a compreensão das estruturas. O professor introduz gradativamente essas terminologias sem perder de vista a compreensão dos seus significados. Esses termos podem inclusive ser introduzidos na sapateira e no ábaco, e substituir os nomes das peças do material dourado. O termo « DEZena » só é introduzido quando háa conservação do DEZ, ou seja, quando a criança pega o monte de dez palitos que ele mesmo amarrou, e quantifica sem recontar palito a palito. O mesmo é válido para as centenas.

-       Evolução dos materiais de contagem : dos dedos às calculadoras mecânicas.

q  A utilização de materiais para a contagem e operações nas primeiras séries deve ir da utilização dos dedos ao uso de calculadoras. Essa evolução deve respeitar a seguinte gradação : corpo (os dedos), materiais livres (canudos, palitos,...), materiais estruturados concretos ( material dourado montessoriano), materiais estruturados simbólicos (ábaco horizontal e vertical) para então ser introduzido o Quadro de Valor de Lugar. Somente a partir daí aparece o uso de calculadoras mecânicas mais complexas (pois os anteriores, de certa forma, são também calculadoras mecânicas).

q  As crianças devem ser estimuladas à construção e ao uso de calculadoras mecânicas ao longo do processo.

-       A história dos números e dos sistemas de numeração e o uso social dos números

q  Origem dos números na história da civilização como fruto da complexificação dos sistemas de produção (capital) e de organização social.

q  Evolução dos algarismos, mostrando que a forma de registro das quantidades varia ao longo da história assim como varia com o grupo cultural. O uso dos agarismos por nós utilizados é quase que universal, mas é fruto da nossa própria cultura. Se a forma de escrita tende a se universalizar a leitura é totalmente diversificada, mudando de cultura para cultura.

q  Presenças de diferentes sistemas de numeração na nossa cultura : indoarábico, romano, sexagesimal, binário. Esses diferentes sistemas estão impregnados no nosso dia-a-dia, mesmo que não nos demos conta : o romano no registro dos séculos, o sexagesimal na contagem do tempo, o binário na informática. É no contexto de suas utilizações culturais que esses sistemas devem ser explorados pela escola.

Operações e resolução de situações-problema

q  Trabalhar os diferentes conceitos de cada operação, evitando um reducionismo conceitual que em nada contribui com a aprendizagem matemática. A saber : da adição (juntar, acrescentar), da subtração (tirar, comparar e complementar), multiplicar (adição de parcelas iguais, e combinação) e divisão (partilha e medida).

q  Toda e qualquer operação deve estar mergulhada num contexto que dará sentido e significado conceitual a mesma

q  A resolução de uma operação, sobretudo nas séries iniciais, deve ter uma base material de ação. Cabe ao aluno definir quando não necessita dessa base para resolver a situação ou para comunicar seus procedimentos operatórios.

q  A operação aparece primeiramente no plano da idéia mental, da representação mental, para depois ser expressa seja no plano material seja no plano da escrita.

q  Para a construção do algoritmo escrito é fundamental que a cada ação (material ou não) corresponda um registro escrito. O algoritmo escrito deve ser um retrato gráfico da ação mental operada pela criança para realizar a operação. Assim, num grupo de crianças haverá diferentes processos operatórios registrados sobre a folha de papel. O registro delata ao professor estruturas de pensamanto difíceis de identificação.

q  É natural que, enquanto resgistro escrito, a criança apele inicialmente para registros pictóricos (com desenhos das situações reais) os quais devem ser valorizadas e ponto de partida para estruturas de registros mais complexos.

q  A sala deve constituir-se em uma comunidade de investigação de exposição e confronto dos diversos algoritmos presentes num dado grupo de crianças. É importante que a escola favoreça o desenvolvimento da capacidade da crianças em expor seu pensamento, justificá-lo, confrontá-lo e desenvolver um poder de argumentação matemática.

q  No decorrer do ano letivo o professor deve provocar um processo de racionalização desses processos apresentados pelas crianças, hermetizando e dinamizando os algoritmos, para ficarem cada vez mais práticos. Mas isso não implica, de forma alguma, que todos terão um mesmo algoritmo operatório, devendo a turma eleger os processos que eles têm segurança, agilidade, e que saibam explicar como funciona.

q  Os algoritmos retratam fielmente a forma pela qual a criança concebe o número no sistema de numeração. Possíveis dificuldades podem ser reflexos de deficiências na estrutura do número, sobretudo no que se refere ao agupamento e valor posicional 

q  As propriedades das operações devem aparecer no currículo escolar mais como estrutura presente nas resoluções das operações do que como conteúdo a ser ensinado. A cada resolução, o professor deve estar atento para explorar as propriedades operatórias mobilizadas no processo.

q  A existência de diferentes algoritmos nas diferentes culturas deve ser ressaltada pela escola, buscando mostrar que o algoritmo matemático não é único, podendo haver variação de sujeito para sujeito, de grupo para grupo, de época para época. É assim que crianças no Japão, nos USA ou na Europa aprendem processos completamente diferentes uns dos outros, todos eles eficazes, corretos e socialmente aceitos. Fazer matemática é muito mais do que reproduzir processos mecânicos. É construindo seu próprio algoritmo e validando dentro de seu grupo que cada aluno vai despertar para o seu potencial em produzir matemática, e isso deve ser essencial na proposta de educação matemática da escola.

q  O uso de calculadoras deve ser uma prática cotidiana nas aulas de matemáticas. Entretanto, essa utilização deve estar presente não para resolução de problemas e contas elementares. A introdução da calculadora em sala de aula deve implicar na construção de problemas mais « inteligentes» desafiadores. A resolução de contas e problemas simples deve prescindir da calculadora, mas problemas envolvendo números de grandes ordens e problemas do tipo « defina o resto da divisão de 320 por 17 usando somente a calculadora » dará um novo sentido ao uso desta ferramenta e da própria concepção do «fazer matemática». Ainda, é papel da aula de matemática desenvolver competências voltadas ao acesso às novas tecnologias.

q  A construção de calculadoras pelos próprios alunos é uma perspectiva interessante. Com caixas de sapatos, fazer com que as crianças construam calculadoras específicas para cada operação matemática, onde, no desenvolvimento do projeto e no seu uso, a criança possa apoderar-se dos significados de cada operação. Essas calculadoras podem ser incorporadas em jogos de simulação.

q  O desenvolvimento de habilidades específicas, como a hermetização dos algoritmos (que por vezes são excessivamnte longos e complexos) como a memorização de algumas pequenas operações são elementos importantes no processo da aprendizagem das operações. A capacidade do aluno em se utilizar com eficácia dos algoritmos depende também da agilidade e da segurança do aluno. Se a memorização de alguns procedimentos não é nem o primeiro nem o elemento mais importante dessa construção, não podemos negar que o desenvolvimento dessas habilidades contribuem com o ganho de confiança do aluno.  É importante observar que a forma pela qual é trabalhado esse item influencia fortemente na aceitação do aluno a se engajar num trabalho de memorização. Assim, esse trabalho deve se revestir fortemente de um caácter lúdico e evitando-se que seja objeto de punição.

q  A construção e uso de tábuas são elementos importantes no processo da memorização, seja pelo seu carácter histórico (pois os homens do antigo Egito utilizavam delas nos seus cálculos) como uma ferramenta auxiliar no lento processo. A tábua deve estar á disposição de toda sala, sendo os alunos os responsáveis pelo encobrimento, uma a uma, daquelas que considerem desnecessárias. A eliminação completa deve ocorrrer entre a 3ª e 4ª série, num trabalho iniciado na 2ª série.

q  A construção de situações-problema pelos próprios alunos, seja via jogos, seja a partir de sentenças matemáticas dadas é uma excelente oportunidade de se diagnosticar os significados atribuídos pelos alunos às operações matemáticas.

Exploração do espaço e formas (vivido, percebido e concebido)

q  Mais do que o estudo das formas, existem três concepções da geometria : 1) localização e deslocamento, 2) medidas e proporções e 3) representações e formas. Nas séries iniciais devemos ter um conjunto de atividades que envolvam todas essas três concepções.

q  O importante para a aprendizagem geométrica não é a nomeação das figuras, mas a ação efetiva que a criança realiza sobre seus espaços e objetos, representanto essas ações e refletindo sobre elas. A classificação assim como as terminologias devem aparecer como ponto de culminância e não como ponto de partida para o fazer geometria. É na ação da criança sobre seu espaço que ela constrói seus conceitos geométricos.

q  Vincular fortemente a geometria com o corpo, a organização socioespacial, as artes e arquitetura, etc.

q  A composição e a decomposição de sólidos (caixas e embalagens) em figuras planas é parte essencial do trabalho pedagógico de geometria. Entretanto, essas atividades não devem estar encarceradas no ensino da matemática, devendo buscar o professor, em outras áreas, as motivações para sua realização.

q  A produção de maquetes é excelente oportunidade de tratar tanto da geometria das formas como da orientação e da geometria das representações de forma integrada. Deveria estar presente ao menos uma vez por semestre no currículo.

q  Composição e decomposição de figuras geométricas planas por outras figuras (formar, a partir de triângulos, quadrados, retângulos, triângulos, losangos, paralelogramos). Para tanto o geoquadro (ou geoplano), o Tangran, o papel quadriculado, moisacos, carimbos, entre outros, são ferramentas interessantes.

q  A realização de atividades envolvendo semelhanças, com destaque à redução e ampliação de figuras e imagens são atividades lúdicas que favorecem tremendamente a compreensão de princípios de proporcionalidade tão importante na geometria.

q  A exploração de atividades de simetrias, com espelhos, produções artísticas e uso do compasso são importantes para a construção do conceito de simetria.

As medidas e as proporções

O estudo de medidas deve ser decorrente da percepção espaço/temporal do aluno  a partir das  medidas arbitrárias próprias do seu contexto social. A construção dos instrumentos de medidas deve se  basear nas situações de simulação de medidas, do ato de medir, levando o aluno e seu grupo a escolher as  unidades de medida que julgarem apropriadas. Esse deve ser o pressuposto inicial para esse estudo.

O estudo das medidas, numa perspectiva de Educação Matemática, deve perpassar todo o espaço curricular, isto é, ser trabalhado durante todo o ano letivo.

Agora vamos refletir sobre DOZE PRINCÍPIOS que devem permear TODO O ESTUDO de MEDIDAS seja medida de espaço,  medida de tempo,  medida de massa ou capacidade. Vamos estudar cada um deles, tentando contextualizar este estudo. Considere nossos  exemplos apenas como exemplos  mesmo; não são roteiros para serem seguidos retamente. Você pode e deve adaptá-los a sua realidade. Reafirmamos que o que desejamos é que você construa aquele novo olhar sobre o ensino e a aprendizagem. O importante é que  o seu trabalho pedagógico e o trabalho pedagógico do aluno seja reflexivo, dialogado e colaborativo. Dessa forma, não há espaço para aquelas listas intermináveis de problemas descontextualizados ou transformações absurdas sem significado prático.

Vamos aos princípios?

1º Princípio - O ponto de partida do estudo de medidas  é  a percepção. Não podemos conceber de forma alguma trabalhar uma medida sem trabalhar a percepção desta medida. Por exemplo, não podemos trabalhar o metro como unidade de medida  sem explorar a idéia de comprimento e a idéia de distância. Afinal distância e comprimento não são as mesmas coisas?

Quando falamos em comprimento e distância estamos tratando de medidas lineares. Qual a diferença entre as duas? Em que situação eu falo distância e em que situação eu falo comprimento?

A medida está diretamente ligada à comparação, portanto, a medida é relativizada pelas referências que o sujeito toma para a realização da comparação. Por exemplo: um objeto pode ser grande se comparado a outro menor, mas pode tornar-se pequeno se comparado a outro maior. O aluno deve experimentar tudo isso, refletir, discutir. A comparação está ligada ao conhecimento lógico-matemático que é uma construção da mente humana. O ser grande ou ser pequeno é uma relação que a mente humana estabelece. Como podemos começar a trabalhar comprimento com crianças? Para trabalhar a percepção de comprimento você pode colocar várias fitas de comprimentos  variados dentro de um saco opaco e lentamente ir tirando uma a uma. Você deve solicitar aos  alunos que batam palmas para as fitas que eles  acharem compridas, sendo que são retiradas do saco, uma a uma, sempre esticadas.  Com essa atividade você irá observar que alguns alunos baterão palmas e outros não, porque o que é comprido para um pode ser curto para outro. Alguns alunos baterão palmas para fitas  de 15 cm e outras vão esperar surgir fitas de meio metro ou até de um metro, pois as percepções de comprimento  diferem de pessoa para pessoa. O mesmo deve ser feito com pedaços de corda, onde o aluno deve perceber que, para comparar comprimentos, devemos esticar as cordas e emparelhar a partir de uma extremidade. Tais habilidades são importantes no ato da medida, mais importante do que aprender a transformar mecanicamente o hm em dam.

Para trabalhar a percepção de massa e equilíbrio você pode levar seus alunos até o parquinho e brincar na gangorra fazendo comparações entre o mais pesado, o mais leve e assim por diante. Em se tratando de crianças, você pode, por exemplo, comparar o seu peso com o peso dos alunos. O(A) professor(a) pesa quantas crianças? Tal prática pode ser transferida para pesar coisas com uso de balança de dois pratos, inclusive produzidas pelas próprias crianças.

Para trabalhar a percepção de tempo, você pode começar de maneira diferente sem usar  imediatamente o relógio.  Explore as diversas  percepções de tempo. Pergunte aos alunos como eles mediriam o tempo sem relógio. Será que o tempo pode ser dividido em períodos?

 Como  estamos inicialmente trabalhando com a percepção de tempo devemos eliminar da medida o instrumento legal e cultural que normalmente é utilizado .Proponha aos alunos a  brincadeira de estátua e a partir dela faça a discussão sobre essa noção de tempo. Será que a percepção de tempo foi igual para todo mundo? E será que matematicamente o tempo foi igual para todos? Divida a sua turma em dois grupos de forma que um esteja fazendo atividades escritas e o outro brincando por um breve período de tempo e  depois reflita com eles sobre o tempo que foi decorrido, você verá que as percepções serão diferentes.

2º Princípio — O estudo das medidas deve perpassar todo o espaço curricular, deve estar presente do primeiro ao último dia de aula. Não podemos esquecer que, inclusive em conformidade aos PCNs, medidas é um dos eixos curriculares, assim esse estudo fará uma espécie de costura  entre a noção de número, a noção de formas geométricas, a noção de instrumentos, o uso social da Matemática no comércio, nos jogos, nas brincadeiras. O estudo das medidas deve permear todo  o currículo, fazendo   a ponte entre a matemática ferramenta cultural e o rigor da matemática, isto é , uma passagem curricular importante entre a cultura e a ciência. A medida é o espaço privilegiado para fazer essa ponte.

3º Princípio — Todas as medidas devem iniciar com as unidades arbitrárias. Mas por que é importante começar com unidades arbitrárias? Bem, é importante que o aluno, e em especial a criança, seja ela própria produtora de alternativas de resolução de situações de medidas. Ao encontrar estas alternativas ela estará desenvolvendo sua  percepção e referencial de medidas, conservação de quantidade, relação entre quantidade discreta e contínua. São situações que acontecem na vida das crianças, dos trabalhadores, etc.

Como uma criança constrói uma pipa? Ela usa régua, esquadro, compasso? Para marcar os limites do campo para jogar queimada ou o golzinho do futebol, o que eles usam? A régua? Uma trena?  Para jogar finca ou bolinha de gude  a criança usa fita métrica ou trena?

Observe que quando falamos do uso de medidas arbitrárias estamos falando do uso do corpo como primeiro instrumento de medição. Estabelecer partes do corpo como unidades de medidas possui uma  dimensão ontogênica importante na construção do conhecimento pelo aluno, mas também uma dimensão filogenética. Da mesma forma que a criança começa a medir espaços ou objetos  utilizando o palmo, o pé, o passo, o braço nos jogos e nas suas brincadeiras, o pé, o palmo, o passo também foram  usados pelo homem na história da civilização.

Você deve estar se perguntando será que se a escola começar a incentivar o aluno a usar o corpo para medir, ele vai depois querer usar a régua ou outros instrumentos de medidas? Esta é uma angústia de muitos professores. Isso não acontecerá porque, ao utilizar parte do corpo como unidade de medida,  caberá ao professor organizar  atividades que vão gerar situações de conflito em função mesmo da inadequação do uso de partes do corpo como unidades de medidas, assim como ocorreu na história da humanidade. Palmos são de tamanhos diferentes. Este é o seu trabalho de mediação. Por exemplo, em um jogo de queimada coloque um aluno grande e outro pequeno para medir os seus respectivos campos. O que vai acontecer? Os próprios alunos vão perceber que nem sempre a medida arbitrária é uma boa solução.

A partir de uma situação de conflito como a que sugerimos acima é possível  fazer uma discussão com os alunos sobre inconveniência de utilizar partes do corpo como unidade de medida. Se o corpo não é um instrumento conveniente, qual seria o instrumento conveniente? É interessante que cada grupo social adote seu próprio instrumento? A sua própria unidade? Não, porque um grupo social não vive isolado de outro,   há uma relação de troca material e cultural entre os grupos e por isso é necessário haver padrões de medidas. A sociedade necessita dessa padronização  intergrupos, por isso o corpo nem sempre é conveniente. A  sala de aula tem que ser uma mini - cultura (Bruner) ou, então, filosoficamente falando, um espaço de investigação onde os alunos possam levantar  esses questionamentos. São eles que devem  gerar situações-problema e  partir para a busca de soluções até perceberem a necessidade de um padrão para as unidades de medidas.

4º Princípio – A transferência da unidade arbitrária para a unidade padrão deve ser uma decorrência de uma relação social do grupo  em questão. A escola deve provocar e promover situações de medidas com as unidades arbitrárias para que, por meio do conflito, surja a necessidade da padronização.

A partir das situações de conflito, a turma sentirá necessidade de estabelecer  uma unidade padrão para cada tipo de medida, que pode não ser uma do sistema legal. A turma pode eleger a caneta como unidade de medida de comprimento.

Esse é um momento importantíssimo do estudo de medidas, pois ao estabelecer uma medida padrão o aluno está se aproximando da construção do sistema legal. Ele percebe a importância da padronização de medidas. Ele está refazendo a própria história da matemática.

5º Princípio – A transferência da unidade padrão para a unidade legal deve estar vinculada à história da civilização (de acordo com o nível de ensino). Este é o momento de  passarmos de situações a-didáticas para situações didáticas. É importante discutir com os alunos sobre o uso do corpo como instrumento de medida nos diversos momentos da história da civilização. Observe que cada povo teve sua própria unidade de medida, com o crescimento das relações comerciais e culturais entre os diversos grupos surgiu a necessidade de padronizar as medidas. O sistema legal de medidas surge  neste contexto. E por que não propormos aos alunos a realização de pesquisas sobre essa história das medidas e também a realização de peças teatrais que demonstrariam esse tema sobre a evolução dos sistemas de medidas na história dos homens, sobretudo aqueles que comercializavam?

Você pode contextualizar esta necessidade de padronização e de uso  de um sistema legal de medidas. Será que podemos ir às lojas comprar tecidos medindo com as mãos, ou utilizando a caneta como instrumento de medidas? É importante lembrar das excursões  pelo comércio, que instrumentos encontramos nas padarias, supermercados, açougues, lojas de tecidos, casas de material de construção, farmácias, etc. Faça um levantamento com seus alunos sobre  instrumentos de medidas  que a sociedade utiliza e leve para a escola a maior diversidade possível: balanças, trenas, réguas, litro, relógios, etc.

6º Princípio - É de fundamental importância que a escola estabeleça a relação entre as unidades legais com as unidades culturais, caso não queira alijar sua função social. A escola deve tornar-se um espaço legítimo para a discussão da diversidade cultural a partir das diferenciações das medidas.

É importante discutir com os alunos sobre essa diversidade de medidas sobretudo no Brasil. A realidade brasileira está impregnada dessa diversidade de medidas e quando a escola trabalha isso?

Temos regiões do Brasil que trabalham com a venda de jabuticaba, por exemplo, por quilo, outras por lata, outras por litro. Em algumas regiões se mede a terra com are outras com hectares, outras com alqueire goiano, outras com alqueire paulista. A escola discute isso? Por que o alqueire goiano é maior que o alqueire paulista? Quanto mede um are, um alqueire, um hectare ? Por que num só país tanta diversidade?

Observe professor(a)  que ao discutir sobre todas essas variações culturais  a escola está chamando para si a realidade social e pensando a respeito da educação e do trabalho. No comércio podemos comprar determinadas frutas por quilo ou a dúzia. Que tipo de reflexões podemos fazer a esse respeito? Por que essa diferença? Será que o aluno tem a compreensão de que, na maioria das vezes, o comércio vende da forma que for mais vantajoso para ele? Outra questão que também se relaciona com educação e trabalho é o valor do tempo, a organização do tempo, a exploração do tempo, o valor que está embutido nas coisas que já observamos quando tratamos do sistema monetário brasileiro.

Outro aspecto importante a explorar são os diferentes sistemas internacionais de medidas, podendo haver variações na forma de medir de um país para outro

7º Princípio – No estudo de medidas, é importante que conheçamos a real função da manipulação de material  concreto.  É inconcebível trabalhar  medidas na escola e no currículo sem MEDIR. E o que é medir? É o olhar ? É o ouvir? Ou é o pensar sobre o espaço, agir sobre o espaço,  agir sobre o tempo,  agir sobre as coisas,  confrontar, comparar?

Esse princípio é importantíssimo e se divide em três aspectos:

A) O real conhecimento das unidades de medidas, múltiplos, submúltiplos e suas proporções. Não podemos conceber uma escola que fale do metro sem o aluno construir o metro, pegar no metro e experimentar o metro. Ao falarmos em metro quadrado o aluno tem que saber concretamente o que isso significa para depois ter uma visão mental do metro quadrado. O aluno deve "experenciar" as medidas. (Termo proposto por Rogers, Teoria Humanista)

De nada vale  transformar um decagrama em um hectograma com vírgula para cá e zero para lá, sem que o aluno, ao pegar um objeto,  seja incapaz de compreender o que é medida de capacidade. Esta compreensão passa inclusive pela capacidade de estimar se um objeto  pesa um quilo, meio quilo, etc. Convidamos você a fazer um teste com seus alunos: escolha um objeto qualquer e peça aos alunos que façam a estimativa de peso.

A capacidade de fazer estimativa de peso é bastante encontrada no mundo do trabalho, especialmente no comércio. Peça aos seus alunos que observem, por exemplo, o trabalho de um açougueiro ou de um cortador de queijo. Como eles conseguem se aproximar tanto e  até acertar com precisão a medida? Não teria a prática com a medida a ver com tal habilidade ? E o que a escola tem proposto nesse sentido ?

            B) Quando trabalhamos com medidas estamos de maneira privilegiada trabalhando a noção de conservação. A  compreensão da  noção de conservação é  muito importante e não é tão simples. Piaget propõe um teste para avaliar tal compreensão pela criança. Ele sugere que o aluno compare um mesmo tamanho de  fita  disposto de forma diferente: enrolada e estendida. A criança tende a achar que a fita enrolada é menor que a estendida ou quando não estão emparelhadas. O mesmo ocorre quando ela é levada a comparar volumes iguais de líquidos acondicionados em recipientes diferentes. São situações como estas que proporcionam  vivência de fato com o domínio das medidas. Olhando volumes de líquidos em  recipientes diferentes, comparando comprimentos de fitas, manipulando  instrumentos de medidas o aluno será capaz de desenvolver a  percepção de comparação e de conservação.

C) Afirmamos mais uma vez ser inadmissível a ausência de instrumentos de medidas no currículo. Não se trata de apenas oportunizar a manipulação de instrumentos. A construção de instrumentos pelo próprio aluno precede o seu uso. É importante que o aluno seja levado a construir e explorar todas as possibilidades de uso de instrumentos fabricados artesanalmente por ele, como balanças, relógios, trenas,etc.

            8º Princípio – É preciso trabalhar a real dimensão do sistema de medidas adotado pela nossa cultura. Nas séries iniciais, não precisamos trabalhar a transformação de medidas de maneira rigorosa como por exemplo, transformar decímetro em decâmetro. Não há o menor significado ficar passando de forma mecânica e sem significado, das suas dimensões e ordens de grandezas, vírgula para cá , zero para lá. Precisamos saber quais são as unidades de  medidas, seus múltiplos e submúltiplos, todavia a ênfase deve ser nas unidades mais usuais e nas principais transformações.

            Não podemos esquecer que o trabalho com medidas também deve ser contextualizado.  As situações problema devem traduzir a sua real utilização no mundo (teoria de conceitos de Vygotsky) Segundo Vygotsky, a construção do conhecimento é um processo próprio do sujeito. A escola pode participar desse processo criando ou promovendo situações significativas para esse sujeito. Não é, pois, apenas pelo uso do código escrito e falado que a escola vai contribuir para que o aluno construa o seu conceito de medida. É pelo ato de medir, agindo sobre as medidas, que aluno irá construindo o seu conceito.

           

            9º Princípio – Este princípio está relacionado com uma dificuldade que precisamos assumir. Historicamente, nós professores temos a dificuldade de metodologicamente trabalhar de forma integrada e  holistíca . Somos quase incapazes de ver o conhecimento de maneira total e isso decorre da nossa própria formação fragmentada. Fomos formados numa escola dividida em séries, séries divididas em disciplinas e disciplinas compartimentadas em conteúdos.

            Ao trabalhar com medidas, o professor deve ficar especialmente atento a essa fragmentação curricular. Sua  atitude deve ser no sentido de tentar vincular as medidas, especialmente quando se trata de medidas de capacidade, de volume, de comprimento, de superfície e de massa.

            Note que a capacidade depende do volume, o volume depende das dimensões, a dimensão depende da superfície de base, e essa, dos comprimentos da forma da base do recipiente volumétrico.

            10º Princípio – Nós temos que  aceitar e explorar a inter-relação entre medidas e geometria. Quando estamos trabalhando com medidas, estamos tocando diretamente na essência da GEO-METRIA – medida da forma. O estudo de medidas é espaço privilegiado de estudo da geometria, isso possibilita a construção de um trabalho integrado. Quando medimos uma superfície, essa superfície tem uma forma, cujas características e propriedades influenciam sobre a medida da superfície, ou seja, da área. Como trabalhar com as medidas sem tratar da geometria ?

            11º Princípio – A escola deve ser o espaço de trabalhar o sistema legal de medidas, pois é por excelência espaço de socialização e de compreensão das relações estabelecidas na sociedade. Mas atenção, a escola não pode se limitar ao seu próprio sistema de medidas, como se não existissem outros. Mesmo nas séries iniciais, a criança deve ampliar a sua visão do mundo, reconhecendo a diversidade cultural.  É preciso que o aluno saiba que o nosso sistema legal de medidas é apenas dentre tantos.

            O aluno precisa entender que a própria civilização humana em suas relações sociais, nas relações de trabalho não conseguiu se unir em torno de um sistema único de medidas. Países como E.U.A e Inglaterra trabalham com um sistema de medidas diferente da América Latina, França, Espanha e Portugal.

            A ciência, por outro lado, para ter uma linguagem universal, usa um único sistema de medidas.  A escola tem que se aperceber disso e esclarecer que não é o “sistema legal de medidas” mas, “os sistemas legais de medidas”.

            O Brasil tomou a posição política de adotar um sistema legal de medidas e isto há apenas 100 anos. E o que são 100 anos na história da humanidade?

            Peça aos alunos que pesquise na internet  quando e como o Brasil adotou  um sistema legal de medidas. Procure investigar como este sistema funciona e para que serve o Instituto Nacional de Pesos e Medidas- INPM.

            12º Princípio – Este último princípio deve direcionar não só o estudo de decimais, como de qualquer outro conteúdo e de qualquer área do conhecimento. A escola deve estar atenta à capacidade  do aluno de  criar situações-problema e propor soluções para os impasses e conflitos gerados por essas situações vinculadas a sua vida cotidiana. Em se tratando de medidas, essas situações devem se relacionar ao mundo do trabalho, dos jogos, das ciências e do comércio. O estudo de medidas deve pulsar sobre a dinâmica da vida cotidiana. A criança deve querer trazer as questões do seu dia a dia e a escola deve ser estar receptiva a estas questões.

Organização de coleta de dados e interpretação e construção de gráficos e tabelas

q  Trata-se de um tema recente no currículo de matemática brasileiro, onde muitos professores não têm uma base teórico-metodológica sobre seu valor.

q  No início, deve-se buscar trabalhar com a organização de quantidades discretas, organizando-as em grupos, registrando em tabelas e representando em gráficos de coluna.

q  Os primeiros gráficos devem ser os de coluna, onde essas colunas são formadas fisicamente por objetos colados, frutos da coleta de dados. O professor deve aprender a explorar o máximo a extração de informações e análises possíveis.

q  A realização de pequenas pesquisas com coleta e organização de dados é base fundamental da aprendizagem deste tópico curricular

q  A evolução dos gráficos podem ser em direção aos gráficos de setor, com trabalho integrado ao de frações.

q  A escola pode pensar em introdução da informática com as primeiras aprendizagens com o softwere EXCEL.

q  Com esse trabalho, o professor deve selecionar gráficos na imprensa e levar para a sala de aula para discussão com os alunos.

Possibilidades e Estastísticas

q  O estudo de « possibilidades » deve ser explorado, mesmo que sem grandes formalizações desde as primeiras séries. Ao jogar um dado, deve o professor explorar a idéia de saber qual a chance de sair um número par, ou um número maior que 4, etc. Sabendo que na turma de 20 alunos, 10 torcem para o time do Gama, qual a chance de Paulo, aluno desta turma, ser torcedor do Gama. É importante explorar a idéia de chance, mostrando que sempre há uma possibilidade de acerto como de erro.

q  As ocasiões e vivências com eleições são excelentes para exploração destas idéias.